Question

设a，b为互不相等的正整数，方程ax²+8x+b=0的两个实根为x₁，x₂（x₁≠x₂），且|x₁|＜|x₂|＜1，则a+b的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由|x₁|＜|x₂|＜1，知，方程的两根在区间（-1，1）内，
设f（x）=ax²+8x+b=0，此函数的图象与x轴的两个交点在区间（-1，1）内，如图：

由图可得，f（-1）＞0，f（1）＞0，且对称轴在区间（-1，1）内．由此列条件求a+b的最小值．

解答：解：设f（x）=ax²+8x+b=0，
此函数的图象与x轴的两个交点在区间（-1，1）内
∴

f(-1)＞0 f(1)＞0 -1＜- 8 2a ＜1 4ab-64 4a ＜0

∴

a+b＞8 a＞4 ab＜16

∵a，b为互不相等的正整数，
∴a，b可能的取值有（7，2）（8，1）（9，1）（10，1）…（14，1）共8个
∴a+b的最小值是9．
故填9．

点评：本题属于一元二次方程根的分布问题，通常用数形结合的方法解决．二次函数根的分布问题，一般考虑图象与x轴
的交点问题，对称轴位置问题，顶点位置问题等．