Question

已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线.
(Ⅰ)求,,,的值;
(Ⅱ)若时,≤,求的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)=4,=2,=2,=2；(Ⅱ)

试题分析：(Ⅰ)求四个参数的值，需寻求四个独立的条件，依题意代入即可求出的值；(Ⅱ)构造函数，转化为求函数的最值，记==()，由已知，只需令的最小值大于0即可，先求的根，得，只需讨论和定义域的位置，分三种情况进行，当时，将定义域分段，分别研究其导函数的符号，进而求最小值；当时，的符号确定，故此时函数具有单调性，利用单调性求其最小值即可.
试题解析：(Ⅰ)由已知得,而，代入得，故=4,=2,=2,=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
设函数==(),
==, 由题设知，即，令，得
，
（1）若，则，∴当时，，当时，，记在时单调递减，时单调递增，故在时取最小值，而，∴当时，，即≤；
（2）若，则，∴当时，，∴在单调递增，而.∴当时，，即≤；
（3）若时，，则在单调递增，而==<0,
∴当≥-2时,≤不可能恒成立,
综上所述,的取值范围为[1,].