Question

已知圆C：（x-4）²+（y-m）²=16（m∈N*），直线4x-3y-16=0过椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点，且交圆C所得的弦长为

32

5

，点A（3，1）在椭圆E上．
（Ⅰ）求m的值及椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求

AC

•

AQ

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据直线交圆的弦长的值，进而求得圆心C（4，m）到直线，根据点到直线的距离求得m，进而求得椭圆E的焦点，进而根据椭圆的定义求得a，进而根据a和c求得b，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）设Q的坐标，表示出

AQ

，进而设x+3y=n与椭圆方程联立，消去y根据判别式求得n的范围．

解答：解：（Ⅰ）因为直线4x-3y-16=0交圆C所得的弦长为

32

5

，
所以圆心C（4，m）到直线4x-3y-16=0的距离等于

42-( 16 5 )2

=

12

5

，
即

|4×4-3×m-16|

5

=

12

5

∴m=4，或m=-4（舍去）
又因为直线4x-3y-16=0过椭圆E的右焦点，所以右焦点坐标为F₂（4，0）．
则左焦点F₁的坐标为（-4，0），因为椭圆E过A点，
所以|AF₁|+|AF₂|=2a
所以2a=5

2

+

2

=6

2

，a=3

2

，a2=18，b2=2
故椭圆E的方程为：

x2

18

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）：

AC

=(1，3)，设Q(x，y)
则

AQ

=(x-3，y-1)
设x+3y=n，则由

x2 18 + y2 2 =1 x+3y=n

消x得18y²-6ny+n²-18=0
由于直线x+3y=n与椭圆E有公共点，
所以△=（6n）²-4×18×（n²-18）≥0，
所以-6≤n≤6，故

AC

•

AQ

=x+3y-6的取值范围为[-12，0]．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题常涉及解析几何的所有知识和函数、不等式等很多代数知识，
当然还会用到平面几何知识．故要求学生对基本知识应熟练掌握．