Question

（2012•海淀区二模）点P（x，y）是曲线C：y=

1

x

（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：
①|PA|=|PB|；
②△OAB的周长有最小值4+2

2

；
③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．
其中真命题的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：先利用导数求出过点P的切线方程：①由切线方程可求得点A、B的坐标，进而利用两点间的距离公式即可证明；②先利用两点间的距离公式求出△OAB的周长，再利用基本不等式的性质即可证明；③先假设满足条件的点M、N存在，利用等腰三角形的性质只要解出即证明存在，否则不存在．

解答：解：设动点P(m，

1

m

)（m＞0），则y′=-

1

x2

，∴f′(m)=-

1

m2

，
∴过动点P(m，

1

m

)的切线方程为：y-

1

m

=-

1

m2

(x-m)．
①分别令y=0，x=0，得A（2m，0），B(0，

2

m

)．
则|PA|=

m2+ 1 m2

，|PB|=

m2+ 1 m2

，∴|PA|=|PB|，故①正确；
②由上面可知：△OAB的周长=2m+

2

m

+2

m2+ 1 m2

≥2×2

m× 1 m

+2

2 m2× 1 m2

=4+2

2

，当且仅当m=

1

m

，即m=1时取等号．
故△OAB的周长有最小值4+2

2

，即②正确．
③假设曲线C上存在两点M(a，

1

a

)，N(b，

1

b

)，不妨设0＜a＜b，∠OMN=90°．
则|ON|=

2

|OM|，

OM

⊥

MN

，
所以

b2+ 1 b2 = 2 a2+ 1 a2 a(b-a)+ 1 a ( 1 b - 1 a )=0

化为

b2+ 1 b2 =2(a2+ 1 a2 ) a3b=1

解得

a= 4 3- 5 2 b= 1 a3

，故假设成立．
因此③正确．
故选D

点评：理解导数的几何意义、基本不等式的性质、两点间的距离公式及等腰直角三角形的性质是解题的关键．