Question

如图 I，平面四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=150°，AB=AD=2BC=4，把△ABD沿直线BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，连接AC得到如图 II所示四面体A-BCD．设点O，E，F分别是BD，AB，AC的中点．连接CE，BF交于点G，连接OG．
（1）证明：OG⊥AC；
（2）求二面角B-AD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知，△ABD是等边三角形，取OD的中点M，连接AM、CM、FM，先证明AM=CM，根据F为AC中点，可得MF⊥AC，再证明OG∥MF，即可得到结论；
（2）取AD中点N，连接CN，BN，则∠BNC是二面角B-AD-C的平面角，从而可求二面角B-AD-C的大小．

解答：（1）证明：由已知，△ABD是等边三角形，取OD的中点M，连接AM、CM、FM
在△ABM中，BM=3，AB=4，B=60°，由余弦定理得AM=

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在△CBM中，BC=2，BM=3，CB⊥BD，得CM=

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所以AM=CM，
因为F为AC中点，所以MF⊥AC
由已知，G为三角形ABC的重心，所以BG：GF=BO：OM=2：1
所以OG∥MF，所以OG⊥AC；…6'
（2）解：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CB⊥BD，∴CB⊥面ABD
∵AB?面ABD，∴CB⊥AB
∴△ABC≌△BCD，∴AC=CD
取AD中点N，连接CN，BN，则CN⊥AD，BN⊥AD，所以∠BNC是二面角B-AD-C的平面角．
在△BNC中，CB⊥BN，BC=2，BN=2

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，∴∠BNC=30°
∴二面角B-AD-C的大小为30°…12'

点评：本题考查线线垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．