Question

平面上：在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则；空间中：在正四面体ABCD中，若三角形BCD中心为M，正四面体ABCD中心为O，则=________．

Answer 1

3
分析：本题考查的知识点是类比推理，由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；由题目中在正三角形ABC中，若D是边BC中点，G是三角形ABC的重心，则中的结论是二维线段长与线段长的关系，类比后的结论应该为三维的边与边的关系．
解答：解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，
一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；
由题目中“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，
我们可以推断：“在正四面体ABCD中，若三角形BCD中心为M，正四面体ABCD中心为O，则=3．”
理由如下：
设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，
所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，
则有r=，可求得r即OM=，
所以AO=AM-OM=，所以 =3．
故答案为：3．
点评：本题考查类比推理知识，由平面到空间的类比是经常考查的知识，要认真体会其中的类比方式．