Question

16．已知函数f（x）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a^x}-\frac{1}{a^x}）$（a＞0且a≠1）
（1）①若a=$\sqrt{2}$，判断函数的单调性（可不证明）；②判断并证明函数的奇偶性；
（2）问：在y=f（x）的图象上是否存在两个不同点A、B，使直线AB与x轴平行？若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）①若a=$\sqrt{2}$，写出函数解析式，即可判断函数的单调性；②利用奇函数的定义，判断并证明函数的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义证明函数f（x）为定义域上的单调函数即可说明不存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行．

解答 解：（1）①若a=$\sqrt{2}$，f（x）=$\sqrt{2}[（\sqrt{2}）^{x}-\frac{1}{（\sqrt{2}）^{x}}]$单调递增；
②函数f（x）是奇函数，证明如下
f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{x}}-{a}^{x}）$=-f（x），函数f（x）是奇函数；
（2）不存在，理由如下：
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{a（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1）}{（{a}^{2}-1）{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
∵${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+1＞0，${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+＞0，而不论a＞1 还是0＜a＜1，${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$与a²-1同号
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数．
故在函数y=f（x）的图象上不存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数单调性的定义及其证明，代数变换推理证明能力．