Question

已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且

CP

•

CQ

=0（ C为圆心）．则该圆的半径为

 

，m的值为

 

．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心C的坐标，表示出圆C的半径r，然后由点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由

CP

•

CQ

=0得到CP⊥CQ，即三角形CPQ为等腰直角三角形，根据余弦函数定义得到d=CPcos45°，求出CP的长，即为圆C的半径，然后用求出的圆的半径等于表示出的半径r，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值．

解答：解：把圆x²+y²+x-6y+m=0化为标准方程得：（x+

1

2

）²+（y-3）²=

37-4m

4

，
∴圆心C(-

1

2

，3)，半径r=

1

2

37-4m

，
则圆心C(-

1

2

，3)圆心到直线x+2y-3=0的距离d=

|- 1 2 +6-3|

5

=

5

2

．
又∵

CP

•

CQ

=0，
∴CP⊥CQ，又CP=CQ，
∴△CPQ为等腰直角三角形，
∴CP=

2

d=

10

2

，即圆C的半径为

10

2

，
由r=

1

2

37-4m

=

10

2

，解得：m=

27

4

．
故答案为：

10

2

；

27

4

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，以及平面向量的数量积的运算，由平面向量的数量积为0得到两向量互相垂直是解本题的突破点，同时要求学生会将圆的一般式方程化为标准方程，会从圆的标准方程中找出圆心坐标和圆的半径．