Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）过焦点F的任一条弦AB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁＞0，y₂＜0
（1）若y₁y₂=-4，求抛物线方程；
（2）是否存在常数λ，使

1

|FA|

+

1

|FB|

=λ，若存在，求出λ的值，并给予证明，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线对称轴（ox的正方向）上是否存在一定点M，经过点M的任意一条弦AB，使

1

|MA|2

+

1

|MB|2

为定值，若存在，则求出定点M的坐标和定值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设AB的方程代入y²=2px，利用条件y₁y₂=-4，可求抛物线方程；（2）利用抛物线的定义表示出FA，FB，再进行求解；（3）设AB：x=ty+p代入y²=2px，从而表示出MA²=（1+t²）y₁²，MB²=（1+t²）y₂²，进而得证．

解答：解：（1）设AB：x=ty+

p

2

代入y²=2px，得y²-2py-p²=0，∴y₁y₂=-p²=-4，∴p=2，∴抛物线方程y²=4x；
（2）①当AB⊥x轴时，

1

|FA|

+

1

|FB|

=λ=

2

p

②一般地，FA=

p

2

+x1=

y1(y1-y2)

2p

，FB=

p

2

+x2=

y2(y2-y1)

2p

∴

1

|FA|

+

1

|FB|

= 

2p(y2-y1)

y1y2(y1-y2)

=-

2p

y1y2

=

2

p

；
（3）假设存在定点M（x₀，0）（x₀＞0）
①当AB⊥x轴时，可得

1

|MA|2

+

1

|MB|2

=-

1

p2

，M（p，0）
②一般地，设AB：x=ty+p代入y²=2px，得y²-2pty-2p²=0，∴y₁y₂=-2p²，y₁+y₂=2pt，
∵MA²=（1+t²）y₁²，MB²=（1+t²）y₂²，∴

1

|MA|2

+

1

|MB|2

=-

1

p2

得证．

点评：本题主要考查是否存在性命题，通常可以借助于特殊情形，猜想结论，再进行一般性德证明，要充分利用抛物线过焦点弦的性质．