Question

给出一个不等式

x2+1+c

x2+c

≥

1+c

c

（x∈R）．
经验证：当c=1，2，3时，对于x取一切实数，不等式都成立．
试问：当c取任何正数时，不等式对任何实数x是否都成立？若能成立，请给出证明；若不成立，请求出c的取值范围，使不等式对任何实数x都能成立．

Answer 1

分析：令f（x）=

x2+1+c

x2+c

，设u=

x2+c

（u≥

c

），则f（x）=

u2+1

u

=u+

1

u

（u≥

c

）．用分析法可得要使f（x）-

c+1

c

≥0，只需要x²≥

1

c

-c． 故当

1

c

＞c 时，原不等式不是对一切实数x都成立，当 

1

c

-c≤0时，原不等式对一切实数x都能成立．

解答：解：令f（x）=

x2+1+c

x2+c

，设u=

x2+c

（u≥

c

），则f（x）=

u2+1

u

=u+

1

u

（u≥

c

）．
∴f（x）-

c+1

c

=(u+

1

u

)-

c+1

c

=

(u- c) (u c -1)

u c

．
要使不等式成立，即f（x）-

c+1

c

≥0．
∵u≥

c

＞0，∴只须u

c

-1≥0，
∴u²c≥1，即  u²≥

1

c

，∴x²+c≥

1

c

，∴x²≥

1

c

-c．
 故当

1

c

＞c 时，即 0＜c＜1原不等式不是对一切实数x都成立，即原不等式对一切实数x不都成立．
要使原不等式对一切实数x都成立，即使x²≥

1

c

-c对一切实数都成立．
∵x²≥0，故应有

1

c

-c≤0．
再由c＞0 可得，当c≥1时，原不等式对一切实数x都能成立．

点评：本题主要考查函数的恒成立问题，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．