Question

1．已知圆C经过点（1，-1），且圆心为C（2，0）．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）求直线l：4x+3y-13=0被圆C截得的弦长；
（Ⅲ）过点P（0，-$\sqrt{2}$）作圆C的两条切线，切点分别是A，B，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）求直线l：4x+3y-13=0被圆C截得的弦长；
（Ⅲ）法1：由题意得到P，A，C，B四点共圆，且PC为直径，求出M坐标及半径，确定出圆M方程，与圆C方程结合求出公共弦AB方程即可；法2：由AB的垂直平分线为PC，根据直线PC的斜率求出直线AB的斜率，根据y=-$\sqrt{2}$为经过P的圆C一条切线，求出切点坐标，即可确定出直线AB方程．

解答 解：（Ⅰ）设圆C标准方程为（x-2）²+y²=r²（r＞0），
由圆C经过点C（1，-1），故将C（1，-1）代入圆C方程得：r²=2，
则圆C标准方程为（x-2）²+y²=2；
（Ⅱ）∵圆心C（2，0）到直线l：4x+3y-13=0的距离d=$\frac{|8-13|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=1，r=1，
∴所求弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{2-1}$=2；
（Ⅲ）法1：由题意得到P，A，C，B四点共圆，且PC为该圆的直径，
∴该圆的圆心为PC的中点M（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），半径为$\frac{|PC|}{2}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（2-0）^{2}+（0+\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴圆M方程为（x-1）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{3}{2}$①，
由（Ⅰ）得：圆C方程为（x-2）²+y²=2②，
∵AB为两圆的公共弦，
∴②-①得：-2x+3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$，即$\sqrt{2}$x+y-$\sqrt{2}$=0，
则直线AB的方程为$\sqrt{2}$x+y-$\sqrt{2}$=0；
法2：由题意得：AB的垂直平分线为PC，
∵直线PC的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线AB的斜率为-$\sqrt{2}$，
∵y=-$\sqrt{2}$是经过P的圆C一条切线，
∴直线y=-$\sqrt{2}$与圆C相切于点（2，-$\sqrt{2}$），
∴直线AB的方程为y+$\sqrt{2}$=-$\sqrt{2}$（x-2），即$\sqrt{2}$x+y-$\sqrt{2}$=0．

点评 此题考查了直线与圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，勾股定理，垂径定理，点到直线的距离公式，直线与圆相切的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．