【题目】已知椭圆.
(1)若过点的直线l与椭圆C恒有公共点,求实数a的取值范围;
(2)若存在以点B(0,2)为圆心的圆与椭圆C有四个公共点,求实数a的取值范围.
【答案】(1).(2).
【解析】
(1)点在椭圆上或椭圆内,解不等式即得;
(2)要使得圆和椭圆有四个公共点,利用对称性,考虑到在轴上,只要在椭圆的左半边(或右半边)存在不同两点到B点的距离相等,设动点Q(x0,y0)在椭圆上,,
令,只要f(y0)在y0∈(﹣1,1)上不单调即可.
(1)要使得直线l与椭圆C恒有公共点,则点要在椭圆上或者椭圆内,
∴,∴.
(2)法一:要使得圆和椭圆有四个公共点,利用对称性,
所以在椭圆的左半边(或右半边)存在不同两点到B点的距离相等,
设动点Q(x0,y0)在椭圆上,,
令,使得f(y0)在y0∈(﹣1,1)上不单调,
∴,
∴.
法二:设圆B:x2+(y﹣2)2=r2,,
整理得:(1﹣a2)y2﹣4y+a2+4﹣r2=0,
所以存在r,使得方程(1﹣a2)y2﹣4y+a2+4﹣r2=0在(﹣1,1)上有两解,
令函数f(y)=(1﹣a2)y2﹣4y+a2+4﹣r2,对称轴,
只需即可,
∴.
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【题目】下列命题正确的是
(1)命题“,”的否定是“,”;
(2)l为直线,,为两个不同的平面,若,,则;
(3)给定命题p,q,若“为真命题”,则是假命题;
(4)“”是“”的充分不必要条件.
A. (1)(4)B. (2)(3)C. (3)(4)D. (1)(3)
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【题目】已知椭圆:过点,且椭圆的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于,两点,且.若直线上存在点P,使得是以为顶角的等腰直角三角形,求直线的方程.
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【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从开始计数的. [附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 (单位:万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 (单位:万元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 与之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
点P是曲线C1:(x-2)2+y2=4上的动点,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O为中心,将点P逆时针旋转90°得到点Q,设点Q的轨迹为曲线C2.
(Ⅰ)求曲线C1,C2的极坐标方程;
(Ⅱ)射线(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,设定点M(2,0),求△MAB的面积.
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【题目】某商场举行优惠促销,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种:方案一:每满200元减50元;方案二:每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱,装2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)
(1)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得优惠的概率;
(2)若某顾客选择方案二,请分别计算该顾客获得半价优惠的概率、7折优惠的概率以及8折优惠的概率;
(3)若小明的购物金额为320元,你觉得小明应该选取哪个方案,为什么?
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【题目】某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图:
则下列结论正确的是
A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比,2018年二本达线人数增加了倍
C. 2015年与2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加
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