Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{a_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ） 求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（Ⅱ） 设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用a_n是S_n与2的等差中项把1代入即可求a₁，利用S_n=2a_n-2，再写一式，两式作差即可求数列{a_n}的通项；对于数列{b_n}，直接利用点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，得数列{b_n}是等差数列即可求通项；
（Ⅱ）先把所求结论代入求出数列{c_n}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n是S_n与2的等差中项，
∴S_n=2a_n-2，①∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2
n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，②
①-②可得：a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1（n≥2），即数列{a_n}是等比数列
∴a_n=2ⁿ，
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，
∴b_n=2n-1；
（Ⅱ）∵c_n=（2n-1）2ⁿ，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
即：-T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．

点评：本题考查数列的通项，考查数列求和的错位相减法，考查计算能力，属于中档题．