Question

9．已知f（x）为二次函数，-1和3是函数y=f（x）-x-4的两个零点，且f（0）=1
（Ⅰ） 求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ） 设g（x）=f（x）-3x-6，求y=g（log₃x）在区间$[\frac{1}{9}，27]$上的最值，并求相应x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由已知构造方程组求出a，b，c值，可得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ） 由（I）得：g（x）=f（x）-3x-6=x²-4x-5，则y=g（log₃x）=${（lo{g}_{3}x-2）}^{2}-9$，进而可得区间$[\frac{1}{9}，27]$上函数的最值和最值点．

解答 解：（Ⅰ）由已知设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（0）=1可得c=1，
从而：y=f（x）-x-4=ax²+bx+1-x-4=ax²+（b-1）x-3
∵-1和3是函数y=f（x）-x-4的两个零点，
∴由韦达定理可得$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b-1}{a}=-1+3=2\\-\frac{3}{a}=-1×3=-3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$
故f（x）的解析式为f（x）=x²-x+1
（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）得g（x）=（x²-x+1）-3x-6=x²-4x-5
从而：$y=g（{log_3}x）={log_3}^2x-4{log_3}x-5={（{log_3}x-2）^2}-9$∵$\frac{1}{9}≤x≤27$，
∴-2≤log₃x≤3故：当log₃x=2时，即x=9时，y_min=-9；
当log₃x=-2时，即$x=\frac{1}{9}$时，y_max=7．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．