Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PC=2，E是PB上的点．
（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若E是PB的中点，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC，AB=2，AD=CD=1，

∴ ，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．

（2）解：以C为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），设P（0，0，2），

则 ，取 ，则 ，

∴ 为面PAC的法向量．

设 为面EAC的法向量，则 ，

即 ，取x=2，y=﹣2，z=﹣2，

则 ．

【解析】（1）证明AC⊥PC，AC⊥BC，得到AC⊥平面PBC，然后证明平面EAC⊥平面PBC．（2）以C为原点，建立空间直角坐标系，求出面PAC的法向量．面EAC的法向量，然后求解二面角的余弦函数值．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．