Question

4．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，-2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，求线段MN的长度．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点A（1，-2），求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l的方程为：y=x-1，联立抛物线，利用弦长公式求线段MN的长度．

解答 解：（1）把点A（1，-2）代入抛物线C：y²=2px（p＞0），可得（-2）²=2p×1，解得p=2．
∴抛物线C的方程为：y²=4x．                                  …（5分）
（2）F（1，0）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直线l的方程为：y=x-1．                                          …（7分）
联立抛物线，化为x²-6x+1=0，…（9分）
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
∴|MN|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{36-4}$=8．             …12分

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．