Question

已知函数，。

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值；

（Ⅲ）试判断方程（其中）是否有实数解？并说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）和（Ⅱ）（Ⅲ）没有。理由见解析。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）利用函数的定义域和导函数，结合导数的正负号与函数单调性的关系得到结论。

（2）在第一问的基础上判定极值和端点值，进而得到最值。

（3）要方程无实数解则可以利用函数没有零点，结合导数的思想来判定解得。

解：（Ⅰ）因为

           1分

则有        2分

当，或时，

，此时单调递增

所以，函数的单调递增区间是和          3分

（Ⅱ）因为，

所以

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减            4分

于是，当时，，函数在区间上单调递增

此时，            5分

当时，函数在上单调递减，在上单调递增

此时，。

综上所述，            6分

（Ⅲ）方程没有实数解

由，

得：            7分

设

则

当时，；

当时，

故函数在上单调递增，

在上单调递减             8分

所以，函数在上的最大值为

由（Ⅱ）可知，

在上的最小值为          9分

而，所以方程没有实数解              10分