【题目】已知函数f(x)=sin2wx﹣sin2(wx﹣ )(x∈R,w为常数且 <w<1),函数f(x)的图象关于直线x=π对称.
(I)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,f( A)= .求△ABC面积的最大值.
【答案】解:(I)f(x)= cos2ωx﹣[ ﹣ cos(2ωx﹣ )]= cos(2ωx﹣ )﹣ cos2ωx=﹣ cos2ωx+ sin2ωx= sin(2ωx﹣ ).
令2ωx﹣ = +kπ,解得x= .∴f(x)的对称轴为x= ,
令 =π解得ω= .∵ <w<1,∴当k=1时,ω= .
∴f(x)= sin( x﹣ ).
∴f(x)的最小正周期T= .
(Ⅱ)∵f( A)= sin(A﹣ )= ,∴sin(A﹣ )= .∴A= .
由余弦定理得cosA= = = .∴b2+c2=bc+1≥2bc,∴bc≤1.
∴S△ABC= = ≤ .
∴△ABC面积的最大值是
【解析】(I)化简f(x),根据对称轴求出ω,得出f(x)的解析式,利用周期公式计算周期;(Ⅱ)由f( A)= 解出A,利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值,代入面积公式得出面积的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=(2x+b)ex , F(x)=bx﹣lnx,b∈R.
(1)若b<0,且存在区间M,使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,求b的取值范围;
(2)若F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.
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【题目】设△AnBnCn的三边长分别为an , bn , cn , n=1,2,3…,若b1>c1 , b1+c1=2a1 , an+1=an , bn+1= ,cn+1= ,则∠An的最大值是 .
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【题目】已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ],并且矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)变换成(﹣2,4).
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的另一个特征值.
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【题目】如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为 =0.7x+0.35,则下列结论错误的是( )
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | t | 4 | 4.5 |
A.线性回归直线一定过点(4.5,3.5)
B.产品的生产能耗与产量呈正相关
C.t的取值必定是3.15
D.A产品每多生产1吨,则相应的生产能耗约增加0.7吨
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【题目】在平面直角坐标系中,直线l的方程为x+y+3=0,以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆M的极坐标方程为ρ=2sinθ. (Ⅰ)写出圆M的直角坐标方程及过点P(2,0)且平行于l的直线l1的参数方程;
(Ⅱ)设l1与圆M的两个交点为A,B,求 的值.
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【题目】某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高(单位:cm)频数分布表如表1、表2. 表1:男生身高频数分布表
身高(cm) | [160,165) | [165,170) | [170,175) | [175,180) | [180,185) | [185,190) |
频数 | 2 | 5 | 14 | 13 | 4 | 2 |
表2:女生身高频数分布表
身高(cm) | [150,155) | [155,160) | [160,165) | [165,170) | [170,175) | [175,180) |
频数 | 1 | 7 | 12 | 6 | 3 | 1 |
(1)求该校高一女生的人数;
(2)估计该校学生身高在[165,180)的概率;
(3)以样本频率为概率,现从高一年级的男生和女生中分别选出1人,设X表示身高在[165,180)学生的人数,求X的分布列及数学期望.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|,若不等式f(x)≤3的解集为{|x|﹣1≤x≤5}. (Ⅰ)求实数a的值:
(Ⅱ)若不等式f(3x)+f(x+3)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】在数列{an}和{bn}中,a1= ,{an}的前n项为Sn , 满足Sn+1+( )n+1=Sn+( )n(n∈N*),bn=(2n+1)an , {bn}的前n项和为Tn .
(1)求数列{bn}的通项公式bn以及Tn .
(2)若T1+T3 , mT2 , 3(T2+T3)成等差数列,求实数m的值.
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