Question

（理科）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosC+（2a+c）cosB=0
（1）求内角B的大小；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由sinA不为0，得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由b与cosB的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，利用基本不等式求出ac的最大值，由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：sinBcosC+（2sinA+sinC）cosB=0，
整理得：sinBcosC+cosBsinC=-2sinAcosB，即sin（B+C）=sinA=-2sinAcosB，
∵A为三角形的内角，即sinA≠0，
∴cosB=-

1

2

，又B为三角形的内角，
∴B=

2π

3

；
（2）∵b=2，cosB=-

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：4=a²+c²+ac=（a+c）²-ac≥2ac-ac=ac，
（当且仅当a=c时取等号），
∴ac≤4，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×4×

3

2

=

3

，
则△ABC面积的最大值为

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，基本不等式与完全平方公式的运用，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．