Question

在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围城的区域（含边界）上．
（1）若

AP

⊥

BC

，

CP

⊥

AB

，求|

OP

|；
（2）设

OP

=m

AB

+n

AC

（m，n∈R）用x，y表示m+n，并求m+n的最小值．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）设P坐标，由向量垂直的数量积为0，解除P点坐标，然后求|

OP

|；（2）向设

OP

=m

AB

+n

AC

（m，n∈R）代入坐标，x，y表示m+n，转化为线性规划求解．

解答： 解：（1）设P（x，y），
则

AP

=（x-1，y-1），

BC

=（1，-1），

CP

=（x-3，y-2），

AB

=（1，1），
若

AP

⊥

BC

，

CP

⊥

AB

，则有

AP

•

BC

=0且

CP

•

AB

=0
即

x-y=0 x+y-5=0

，解得x=y=

5

2

，则

OP

=（

5

2

，

5

2

），|

OP

|=

5 2

2

，
（2）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴

AB

=（1，2），

AC

=（2，1），
∵

OP

=m

AB

+n

AC

，
∴（x，y）=（m+2n，2m+n）
∴x=m+2n，y=2m+n
∴m+n=

1

3

（x+y），
令y+x=t，得y=-x+t，当直线y=-x+t过点B（2，3）时，t取得最大值，
故m+n的最大值为

5

3

．

点评：本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题．