Question

已知函数，且在处取得极值.
（1）求的值；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围；
（3）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.

Answer 1

（1）（2）（3）不等式恒成立，证明：当时，有极小值又∴时，最小值为
∴，故结论成立.

试题分析：（1）           
∵在处取得极值，
∴
∴                经检验，符合题意.       
（2）∵  
∴当时，有极大值    
又
∴时，最大值为 
∴       故 
（3）对任意的恒成立.
由（2）可知，当时，有极小值
又 
∴时，最小值为
∴，故结论成立.
点评：将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题是此类题目的最常见的转化思路，需引导学生加以重视