Question

【题目】如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．
（1）求此时该外国船只与D岛的距离；
（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，

由余弦定理得DB2=AD2+AB2﹣2ADABcos60°=182+202﹣2×18×15×cos60°=364，

∴ ，

即此时该外国船只与D岛的距离为 海里

（2）解：法一、过点B作BH⊥AD于点H，

在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD﹣AH=8，

以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，

在Rt△DEH中，HE= ，∴ ，

又AE= ，

∴sin∠EAH= ，则 ≈41.81°．

外国船只到达点E的时间 （小时）．

∴海监船的速度 （海里/小时）．

又90°﹣41.81°=48.2°，

故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时．

法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．

则A（0，0），D（18，0）， ，设经过t小时外国船到达点 ，

又ED=12，得 ，此时 （小时）．

则 ， ，

∴监测船的航向东偏北41.81°．

∴海监船的速度 （海里/小时）．

【解析】（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin∠EAH，则∠EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，由 求得速度的最小值． 法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点 ，结合ED=12，得 ，列等式求得t，则 ， ，再由 求得速度的最小值．