Question

9．为增加产品利润，某工厂想投入资金对机器进一步改造升级，经过市场调查，利润增加值y万元与投入x万元之间满足：y=$\frac{41}{40}x-t{x^2}-ln\frac{x}{10}$，x∈（1，m]，当x=10时，y=9．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求利润增加值y取得最大时对应的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x=10时，y=9，代入可得t，即有函数的解析式；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，求得单调区间，讨论m＞40，m≤40，由单调性即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）因为当x=10时，y=9，
即$9=\frac{41}{40}×10-t×{10^2}-ln\frac{10}{10}$，
解得$t=\frac{1}{80}$，
所以  $y=\frac{41}{40}x-\frac{x^2}{80}-ln\frac{x}{10}，x∈（1，m]$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，$f'（x）=\frac{41}{40}-\frac{x}{40}-\frac{1}{x}$
=$-\frac{{{x^2}-41x+40}}{40x}=-\frac{（x-1）（x-40）}{40x}$，
令f′（x）=0，得x=40或x=1（舍去），
当x∈（1，40）时，f'（x）＞0，f（x）在（1，40）上是增函数；
当x∈（40，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（40，+∞）上是减函数．
∴当m＞40时，
当x∈（1，40）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，40）上是增函数；
当x∈（40，m]时，f'（x）＜0，∴f（x）在（40，m]上是减函数，
∴当x=40时，y取得最大值；
当m≤40时，当x∈（1，m）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，m）上是增函数，
∴当x=m时，y取得最大值．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用方程的思想，考查函数的最值的求法，注意运用导数，判断单调性，以及分类讨论的思想方法，属于中档题．