Question

函数f（x）=axⁿ（1-x）²在区间（0.1）上的图象如图所示，则n可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：先从图象上得出原函数的最值（极值）点小于0.5，再把答案分别代入验证法看哪个选项符合要求来找答案即可．
解答：解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，
由图得，原函数的最值（极值）点小于0.5．
当n=1时，f（x）=ax（1-x）²=a（x³-2x²+x），所以f'（x）=a（3x-1）（x-1），令f'（x）=0⇒x=，x=1，即函数在x=处有最值，故A对；
当n=2时，f（x）=ax²（1-x）²=a（x⁴-2x³+x²），有f'（x）=a（4x³-6x²+2x）=2ax（2x-1）（x-1），令f'（x）=0⇒x=0，x=，x=1，即函数在x=处有最值，故B错；
当n=3时，f（x）=ax³（1-x）²，有f'（x）=ax²（x-1）（5x-3），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=，即函数在x=处有最值，故C错．
当n=4时，f（x）=ax⁴（1-x）²，有f'（x）=2x³（3x-2）（x-1），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=，即函数在x=处有最值，故D错
故选 A．
点评：本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．本本题考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．