Question

【题目】已知f（x）=x26x+5． （Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若x∈[2，6]，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） f（a）+f（3）=（a26a+5）+（326×3+5）=a26a+1

（Ⅱ）解法一：

因为f（x）=x26x+5=（x3）24

又因为x∈[2，6]，所以1≤x3≤3，所以0≤（x3）2≤9，

得4≤（x3）24≤5．

所以当x∈[2，6]时，f（x）的值域是[4，5]．

解法二：

因为函数f（x）图象的对称轴 ，

所以函数f（x）在区间[2，3]是减函数，在区间[3，6]是增函数．

所以x∈[2，6]时， ．

又因为f（2）=226×2+5=3，f（6）=626×6+5=5

所以当x∈[2，6]时f（x）的值域是[4，5]．

【解析】（Ⅰ）利用二次函数的解析式，直接求 的值；（Ⅱ）解法一：利用配方法f（x）=x26x+5=（x3）24，求出x3整体的范围，然后求解函数的值域即可．

解法二：求出函数f（x）图象的对称轴利用函数的单调性求解函数的值域即可．

【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．