Question

如图，是抛物线的焦点，过轴上的动点作直线的垂线．

（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；
（Ⅱ）设直线与抛物线相切于点，过点作直线的垂线，垂足为，求线段的长度以及动点的轨迹方程．

Answer 1

（Ⅰ）证明略；
（Ⅱ）动点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其轨迹方程是

（Ⅰ）求证：抛物线的焦点的坐标是（），＝，∵，
∴＝，∴直线的方程是，代入抛物线方程得
，
其判别式，所以，直线与抛物线相切．
（Ⅱ）解：直线与抛物线相切于点，由解得，代入得，依图示可得点的坐标是（，）．所以
，
直线的方程是，　　　　　　　
点到直线的距离．　　　　　
∵，，，∴，
∴，∴动点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其轨迹方程是
．