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记函数f(x)的定义域为D,若存在x∈D,使f(x)=x成立,则称以(x,y)为坐标的点是函数f(x)的图象上的“稳定点”.
(1)若函数的图象上有且只有两个相异的“稳定点”,试求实数a的取值范围;
(2)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)存在有限个“稳定点”,求证:f(x)必有奇数个“稳定点”.
【答案】分析:(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2)是函数的图象上的两个“稳定点”,由定义可得,所以x1,x2是方程x2+(a-3)x+1=0(x≠-a)的两相异实根且不等于-a,由此可得关于a的不等式组,解出即可;
(2)由f(x)为R上的奇函数可判断原点(0,0)是函数f(x)的“稳定点”,只要再说明除原点外“稳定点”成对出现即可;
解答:解:(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2)是函数的图象上的两个“稳定点”,
,即有
∴x1,x2是方程x2+(a-3)x+1=0(x≠-a)的两根,
∴方程x2+(a-3)x+1=0有两个相异的实根且不等于-a,
,解得a>5或a<1且a
∴a的取值范围是(-∞,-)∪(-,1)∪(5,+∞;
(2)∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0,∴原点(0,0)是函数f(x)的“稳定点”,
若f(x)还有“稳定点”(x,y),
则由f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x)且f(x)=x
∴f(-x)=-x
这说明:(-x,-x)也是f(x)的“稳定点”.                     
综上所述可知,f(x)图象上的“稳定点”除原点外是成对出现的,而且原点也是其“稳定点”,
所以它的“稳定点”的个数为奇数.
点评:本题以新定义为切入点,主要考查了二次方程的根的个数问题、奇函数性质等知识的综合应用,考查学生分析解决新问题的能力.
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科目:高中数学 来源: 题型:

记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,则称以(x0,y0)为坐标的点是函数f(x)的图象上的“稳定点”.
(1)若函数f(x)=
3x-1x+a
的图象上有且只有两个相异的“稳定点”,试求实数a的取值范围;
(2)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)存在有限个“稳定点”,求证:f(x)必有奇数个“稳定点”.

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科目:高中数学 来源: 题型:

记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,则称以(x0,x0)为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点.
(1)若函数f(x)=
3x+a
x+b
图象上有两个关于原点对称的不动点,求实数a,b应满足的条件;
(2)设点P(x,y)到直线y=x的距离d=
|x-y|
2
.在(1)的条件下,若a=8,记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A1,A2,P为函数f(x)图象上的另一点,其纵坐标yP>3,求点P到直线A1A2距离的最小值及取得最小值时点P的坐标.
(3)下述命题“若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点,则不动点有奇数个”是否正确?若正确,请给予证明;若不正确,请举一反例.若地方不够,可答在试卷的反面.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,则称以(x0,x0)为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点.
(1)若函数f(x)=
3x+a
x+b
图象上有两个关于原点对称的不动点,求实数a,b应满足的条件;
(2)设点P(x,y)到直线y=x的距离d=
|x-y|
2
.在(1)的条件下,若a=8,记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A1,A2,P为函数f(x)图象上的另一点,其纵坐标yP>3,求点P到直线A1A2距离的最小值及取得最小值时点P的坐标.
(3)下述命题“若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点,则不动点有奇数个”是否正确?若正确,请给予证明;若不正确,请举一反例.若地方不够,可答在试卷的反面.

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科目:高中数学 来源: 题型:

记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使得f(x)=x成立,则称(x0,x0)为函数f(x)图象上的“稳定点”.

(1)是否存在实数a,使函数f(x)=的图象上有且仅有两个相异的稳定点?若存在,求出范围;若不存在,请说明理由.

(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,求证:函数必有奇数个稳定点.

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