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已知sin(x+
π
4
)sin(
π
4
-x)=
1
6
,x∈(
π
2
,π),求sin4x的值.
分析:根据两角和与差的正弦公式,结合已知等式解出sin2x=
2
3
,cos2x=
1
3
.由x∈(
π
2
,π),解出sinx=
6
3
且cosx=-
3
3
,再利用二倍角的正余弦公式即可解出sin4x的值.
解答:解:∵sin(x+
π
4
)=sinxcos
π
4
+cosxsin
π
4
=
2
2
(sinx+cosx)
sin(x-
π
4
)=sinxcos
π
4
-cosxsin
π
4
=
2
2
(sinx-cosx)
∴sin(x+
π
4
)sin(
π
4
-x)=
1
2
(sin2x-cos2x)=
1
6
,可得sin2x-cos2x=
1
3

结合sin2x+cos2x=1解得sin2x=
2
3
,cos2x=
1
3

∵x∈(
π
2
,π),∴sinx=
6
3
,cosx=-
3
3

由此可得sin2x=2sinxcosx=-
2
2
3
,cos2x=cos2x-sin2x=
1
3

∴sin4x=2sin2xcos2x=2×(-
2
2
3
)×
1
3
=-
4
2
9
点评:本题给出三角函数等式,求sin4x的值.着重考查了两角和与差的正弦公式和二倍角的三角函数公式等知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知sin(x-
4
)cos(x-
π
4
)=-
1
4
,求cos4x的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知sin(x+
π
4
)=-
3
5
,则sin2x的值等于(  )
A、-
7
25
B、
7
25
C、-
18
25
D、
18
25

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•东城区二模)已知sin(A+
π
4
)=
7
2
10
,A∈(0,
π
4
).
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求函数f(x)=cos2x+5cosAcosx+1的值域.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知sin(x+
π
4
)sin(
π
4
-x)=
1
6
,x∈(
π
2
,π),求sin4x的值.

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