Question

已知函数y=lg（ax²-2x+2）．
（1）若函数y=lg（ax²-2x+2）的值域为R，求实数a的取值范围；
（2）若a=1且x≤1，求y=lg（ax²-2x+2）的反函数f^-1（x）；
（3）若方程lg（ax²-2x+2）=1在[

1

2

，2]内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数y=lg（ax²-2x+2）的值域为R，知a=0或

a＞0 4-8a≤0

，由此能求出实数a的取值范围．
（2）由a=1且x≤1，知y=lg（x²-2x+2）≥0，所以x²-2x+2-10^y=0，由求根公式得x=

2- 4•10y-4

2

=1-

10y-1

，y≥0，由此能求出反函数f^-1（x）．
（3）由lg（ax²-2x+2）=1，知 ax²-2x+2=10在[

1

2

，2]内有解．再进行分类讨论能求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数y=lg（ax²-2x+2）的值域为R，
∴ax²-2x+2＞0的解为R⁺，
∴a=0或

a＞0 4-8a≤0

解得：0≤a≤

1

2

…（4分）
（2）∵a=1且x≤1，
∴y=lg（x²-2x+2）≥0，
∴x²-2x+2=10^y，
即x²-2x+2-10^y=0，
∵x≤1，
∴x=

2- 4•10y-4

2

=1-

10y-1

，y≥0，
∴f-1(x)=1-

10x-1

(x≥0)…（8分）
（3）由lg（ax²-2x+2）=1，
可知 ax²-2x+2=10
即ax²-2x-8=0 在[

1

2

，2]内有解．
①当a=0时，原方程变为-2x-8=0，x=-4，不合题意舍去，
②当a=-

1

8

时，方程有相同的两个解 x₁=x₂=-8，不合题意舍去．
③当a≠0且a≠-

1

8

时方程有两个不同解．
只有1个解在[

1

2

，2]上，则把

1

2

和2代入方程得（0.25a-9）（4a-12）＜0  解得3≤a≤36
有两个解在[

1

2

，2]上，把

1

2

和2代入方程得（0.25a-9）（4a-12）＞0且对称轴x=

1

a

满足

1

2

＜

1

a

＜2，
解得

1

2

＜a＜2．
综上所述，a的取值范围为（

1

2

，2）∪[3，36]．…（12分）

点评：本题考查对数函数的综合运用和求对数函数的反函数，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．