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    已知函数f(x)=
    x
    x+2
    ，x∈(
    1
    2
    ，1]
    -
    1
    2
    x+
    1
    4
    ，x∈[0，
    1
    2
    ]
    ，g(x)=asin(
    π
    3
    x+
    3π
    2
    )-2a+2(a＞0)    ，给出下列结论：
    ①函数f（x）的值域为[0，
    1
    3
    ]    ；
    ②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
    ③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；
    ④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是
    5
    9
    ≤a≤
    4
    5
    ．
    其中所有正确结论的序号是
     
    ．
    考点：命题的真假判断与应用
    专题：函数的性质及应用
    分析：①当x∈(
    1
    2
    ，1]    时，利用f（x）=
    x
    x+2
    =1-
    2
    x+2
    单调递增，可得f(
    1
    2
    )＜f(x)≤f(1)    ．
    当x∈[0，
    1
    2
    ]    时，函数f（x）=-
    1
    2
    x+
    1
    4
    ，利用一次函数的单调性可得f(
    1
    2
    )≤f(x)≤f(0)    ．
    即可得到函数f（x）的值域．
    ②利用诱导公式可得g（x）=-acos
    π
    3
    x    -2a+2，利用余弦函数的单调性，进而得出g（x）在[0，1]上单调性．
    ③由②可知：g（0）≤g（x）≤g（1），若任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解，
    则必须满足f（x）的值域[0，
    1
    3
    ]    ⊆{g（x）|x∈[0，1]}．解出判定即可．
    ④存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则
    g(x)min≤f(x)max
    g(x)max≥f(x)min
    解出即可．
    解答： 解：①当x∈(
    1
    2
    ，1]    时，f（x）=
    x
    x+2
    =1-
    2
    x+2
    单调递增，∴f(
    1
    2
    )＜f(x)≤f(1)    ，即
    1
    5
    ＜f(x)≤
    1
    3
    ．
    当x∈[0，
    1
    2
    ]    时，由函数f（x）=-
    1
    2
    x+
    1
    4
    单调递减，∴f(
    1
    2
    )≤f(x)≤f(0)    ，即0≤f(x)≤
    1
    4
    ．
    ∴函数f（x）的值域为[0，
    1
    3
    ]    ．因此①正确．
    ②g（x）=-acos
    π
    3
    x    -2a+2，∵x∈[0，1]，∴0≤
    πx
    3
    ≤
    π
    3
    ，因此cos
    πx
    3
    在[0，1]上单调递减，
    又a＞0，∴g（x）在[0，1]上单调递增，因此正确．
    ③由②可知：g（0）≤g（x）≤g（1），∴-3a+2≤g(x)≤-
    5
    2
    a+2    ．
    若任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解，
    则必须满足f（x）的值域[0，
    1
    3
    ]    ⊆{g（x）|x∈[0，1]}．
    ∴-3a+2≤0，-
    5
    2
    a+2≥
    1
    3
    ，解得a=
    2
    3
    ，因此③不正确；
    ④存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则
    g(x)min≤f(x)max
    g(x)max≥f(x)min

    由③可知：g(x)max=g(1)=-
    5
    2
    a+2    ，g（x）min=g（0）=-3a+2，
    ∴-3a+2≤
    1
    3
    ，-
    5
    2
    a+2≥0    ，解得
    5
    9
    ≤a≤
    4
    5
    ，
    ∴实数a的取值范围是
    5
    9
    ≤a≤
    4
    5
    ．正确．
    综上可知：只有①②④正确．
    故答案为：①②④．
    点评：本题综合考查了分段函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    a2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，短轴的两个端点分别为A，B，且满足|
    F1A
    +
    F1B
    |=|
    F2A
    -
    F2B
    |，椭圆C经过点（
    		2
    ，1）．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）设过点M（
    2
    3
    ，0）且斜率为k的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，问：在x轴的正半轴上是否存在一个定点T，使得无论直线l如何转动，以PQ为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：x2=2py（p＞0），定点M（0，5），直线l：y=
    p
    2
    与y轴交于点F，O为原点，若以OM为直径的圆恰好过l与抛物线C的交点．
    （Ⅰ）求抛物线C的方程；
    （Ⅱ）过点M作直线交抛物线C于A，B两点，连AF，BF延长交抛物线分别于A′，B′，求证：抛物线C分别过A′，B′两点的切线的交点Q在一条定直线上运动．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    过点P（1，-2）作直线与曲线
    x=2
    		2
    cosθ
    y=2sinθ
    （θ为参数）相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=
    2
    3
    ，求该直线的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若变量x，y满足约束条件
    x+3y-3≥0
    2x-y-3≤0
    x-y+1≥0.
    ，则z=x+y的最大值为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知cos（θ+
    π
    4
    ）=-
    		10
    10
    ，θ∈（0，
    π
    2
    ），则sin（2θ-
    π
    3
    ）=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    观察下列命题
    ①命题“对任意的x＜0，x3-x2+1≤0”的否定是“存在x≥0，x3-x2+1＞0”；
    ②函数f（x）=2x-x2的零点有2个；③若函数f（x）=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=0；
    ④若函数f（x）=
    ax-5，(x＞6)
    (4-
    a
    2
    )x+4，(x≤6)
    在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围为（1，8）．       
    其中真命题的序号是
     
    （写出所有正确命题的编号）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知实数x，y满足约束条件
    x-y+1≥0
    x+y≥0
    x≤1
    ，则z=2x+y的最小值是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设F1，F2为椭圆Γ：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左，右焦点，点M在椭圆Γ上．若△MF1F2为直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为（　　）
    A、
    		3
    3
    或
    		5
    3
    B、
    		5
    3
    或
    		6
    3
    C、
    		6
    3
    或
    		7
    3
    D、
    		3
    3
    或
    		5
    -1
    4

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