Question

设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，g（1）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-1，0）∪（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：根据f（x）、g（x）的奇偶性，可得F（x）=f（x）g（x）是奇函数．由题中的不等式可得F（x）在区间（-∞，0）上是增函数，结合奇函数性质得在区间（0，+∞）上F（x）也是增函数．最后分x＞0和x＜0加以讨论，并结合F（1）=F（-1）=0，可求出不等式f（x）g（x）＜0的解集．

解答：解：令F（x）=f（x）g（x），可得
∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴F（x）=f（x）g（x）是定义在R上的奇函数．
又∵当x＜0时F'（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0成立，
∴F（x）在区间（-∞，0）上是增函数，可得它在区间（0，+∞）上也是增函数．
∵g（1）=0可得F（1）=0，∴结合F（x）是奇函数可得F（-1）=0，
当x＞0时，F（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（1），结合单调性得0＜x＜1；
当x＜0时，F（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（-1），结合单调性得x＜-1．
因此，不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）．
故选：B

点评：本题给出函数F（x）=f（x）g（x）的奇偶性和单调性，求不等式f（x）g（x）＜0的解集．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的单调性与奇偶性的关系等知识点，属于基础题．