Question

7．设函数f（x）=x²-$\frac{2\sqrt{a}}{a}x$+$\frac{2\sqrt{a}}{a}$-1（a＞0），求证：“任意x≥1，f（x）≥0都成立”的充要条件是“a≥1“．

Answer 1

分析 f（x）=$（x-\frac{\sqrt{a}}{a}）^{2}$-$\frac{1}{a}$+$\frac{2\sqrt{a}}{a}$-1（a＞0），由任意x≥1，f（x）≥0都成立?$\frac{\sqrt{a}}{a}$≤1，f（1）≥0，a＞0，解出即可得出．

解答 证明：f（x）=$（x-\frac{\sqrt{a}}{a}）^{2}$-$\frac{1}{a}$+$\frac{2\sqrt{a}}{a}$-1（a＞0），
由任意x≥1，f（x）≥0都成立?$\frac{\sqrt{a}}{a}$≤1，f（1）≥0，a＞0，解得a≥1．
∴“任意x≥1，f（x）≥0都成立”的充要条件是“a≥1”．

点评 本题考查了二次函数的单调性、充要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．