Question

（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，，BC=CD=2，．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．

Answer 1

（1）见解析   （2）

（1）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由 ，∴BD⊥AC．
再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．
而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．
（2）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，
∴三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．
△BCD的面积S_△BCD=BC•CD•sin∠BCD==．
∴三棱锥P﹣BDF的体积 V=V_P﹣BCD﹣V_F﹣BCD=﹣=×
==．