Question

13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的图象与x轴相交，相邻两距离为$\frac{π}{2}$，且图象上，一个最低点为M（$\frac{2π}{3}$，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求出函数的对称中心和对称轴方程；
（4）求f（x）的最值及此时x的集合；
（5）当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域；
（6）若f（α）=1，求角α的值．

Answer 1

分析 由题意可得A=2，由周期可得ω=2，代入点M（$\frac{2π}{3}$，-2）可得φ值，可得
（1）f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调递增区间；
（3）解2x+$\frac{π}{6}$=kπ可得对称中心；解2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得对称轴；
（4）f（x）的最大值为2，解2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$可得x的集合，f（x）的最小值为-2，解2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$可得x的集合；
（5）由x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，由三角函数的性质可得值域；
（6）由题意可得sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，可得2α+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或2α+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，解方程可得α．

解答 解：由题意可得A=2，周期T=2×$\frac{π}{2}$，故ω=2，
函数f（x）=2sin（2x+φ），
代入点M（$\frac{2π}{3}$，-2）可得2sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-2，
∴$\frac{4π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
结合|φ|＜$\frac{π}{2}$可得当k=0时，φ=$\frac{π}{6}$，
（1）f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）；
（3）由2x+$\frac{π}{6}$=kπ可得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，∴函数的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z；
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，∴函数的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（4）f（x）的最大值为2，此时2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，可得x的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}，
f（x）的最小值为-2，此时2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，可得x的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}；
（5）当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，∴f（x）的值域为：[-1，2]；
（6）由f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{6}$）=1可得sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2α+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或2α+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，解得α=kπ或α=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及设计师的单调性和最值以及对称性，属中档题．