Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），λ是常数．
（Ⅰ）当a₂=-1时，求λ及a₃的值；
（Ⅱ）数列{a_n}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n＞m时总有a_n＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知当a₂=-1时，得-1=2-λ，故λ=3．从而求出a₃．
（Ⅱ）由题意知若存在λ，使{a_n}为等差数列，则有a₂-a₁=1-λ=-2，a₄-a₃=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．这与{a_n}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a_n}都不可能是等差数列．
（Ⅲ）记b_n=n²+n-λ（n=1，2，），n₀=2k（k=1，2，），则λ满足

b2k=(2k)2+2k-λ＞0 b2k-1=(2k-1)2+2k-1-λ＜0

．由此可求出故λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由于a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，），且a₁=1．
所以当a₂=-1时，得-1=2-λ，故λ=3．
从而a₃=（2²+2-3）×（-1）=-3．
（Ⅱ）数列{a_n}不可能为等差数列，证明如下：由a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n
得a₂=2-λ，a₃=（6-λ）（2-λ），a₄=（12-λ）（6-λ）（2-λ）．
若存在λ，使{a_n}为等差数列，则a₃-a₂=a₂-a₁，即（5-λ）（2-λ）=1-λ，
解得λ=3．于是a₂-a₁=1-λ=-2，a₄-a₃=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．
这与{a_n}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a_n}都不可能是等差数列．
（Ⅲ）记b_n=n²+n-λ（n=1，2，），根据题意可知，b₁＜0且b_n≠0，即λ＞2
且λ≠n²+n（n∈N^*），这时总存在n₀∈N^*，满足：当n≥n₀时，b_n＞0；
当n≤n₀-1时，b_n＜0．所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n₀为偶数，
则an0＜0，从而当n＞n₀时，a_n＜0；若n₀为奇数，则an0＞0，
从而当n＞n₀时a_n＞0．因此“存在m∈N^*，当n＞m时总有a_n＜0”
的充分必要条件是：n₀为偶数，
记n₀=2k（k=1，2，），则λ满足

b2k=(2k)2+2k-λ＞0 b2k-1=(2k-1)2+2k-1-λ＜0

．
故λ的取值范围是4k²-2k＜λ＜4k²+2k（k∈N^*）．

点评：本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．