Question

三菱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=600，则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  6

  6

• C．

  3

  4

• D．

  3

  6

Answer 1

分析：先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，
然后利用夹角公式求异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值即可．

解答：解：如图，设

AA1

=

c

，

AB

=

a

，

AC

=

b

，棱长均为1，
则

a

•

b

=

1

2

，

b

•

c

=

1

2

，

a

•

c

=

1

2

，
∵

AB1

=

a

+

c

，

BC1

=

b

-

a

+

c

，
∴

AB1

•

BC1

=（

a

+

c

）•（

b

-

a

+

c

）=

1

2

-1+

1

2

+

1

2

-

1

2

+1=1，
|

AB1

|=

( a + c )2

=

a 2+2 a • c + c 2

=

1+1+1

=

3

，
|

BC1

|=

( b - a + c )2

=

1+1+1-1+1-1

=

2

，
∴cos＜

AB1

，

BC1

＞=

1

3 × 2

=

6

6

∴异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为

6

6

．
故选B．

点评：本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，考查学生的计算能力．