Question

20．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心为极坐标：C（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），半径r=$\sqrt{3}$．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若过点P（0，1）且倾斜角α=$\frac{π}{6}$的直线l交圆C于A，B两点，求|PA|²+|PB|²的值．

Answer 1

分析 （1）先求出点C直角坐标，从而求出圆C的直角坐标方程，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$能求出得圆C的极坐标方程．
（2）求出直线l的参数方程，代入圆C，得${t}^{2}-\sqrt{3}t-2$=0，由此能求出|PA|²+|PB|²的值．

解答 解：（1）∵圆C的圆心为极坐标：C（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴$x=\sqrt{2}sin\frac{π}{4}$=1，y=$\sqrt{2}cos\frac{π}{4}$=1，∴点C直角坐标C（1，1），
∵半径r=$\sqrt{3}$，
∴圆C的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=3，…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，得圆C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ-1=0．…（5分）
（2）∵过点P（0，1）且倾斜角α=$\frac{π}{6}$的直线l交圆C于A，B两点，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，…（7分）
把直线l的参数方程代入圆C：（x-1）²+（y-1）²=3，
得（$\frac{\sqrt{3}}{2}t-1$）²+（$\frac{1}{2}t$）²=3，
整理，得${t}^{2}-\sqrt{3}t-2$=0，
${t}_{1}+{t}_{2}=\sqrt{3}$，t₁t₂=-2，
∴|PA|²+|PB|²=${{|t}_{1}|}^{2}$+|t₂|²=（t₁+t₂）²-2t₁•t₂=7．…（10分）

点评 本题考查圆的极坐标方程和线段平方和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式、圆的性质的合理运用．