Question

19．已知1+sinθ$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}+cosθ\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=0，则θ的取值范围是[2kπ+π，$2kπ+\frac{3π}{2}$]，k∈Z，．

Answer 1

分析 通过θ所在象限，化简表达式，求解即可．

解答 解：1+sinθ$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}+cosθ\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=0，
可得1+sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=0，
当θ∈[2kπ，$2kπ+\frac{π}{2}$]，k∈Z，上式化为：1+sin²θ+cos²θ=0，等式不成立．
当θ∈[$2kπ+\frac{π}{2}$，2kπ+π]，k∈Z，上式化为：1+sin²θ-cos²θ=0，可得cos2θ=1，2θ=2kπ，θ=kπ，
可得θ=2kπ+π，k∈Z等式成立．
当θ∈[2kπ+π，$2kπ+\frac{3π}{2}$]，k∈Z，上式化为：1-sin²θ-cos²θ=0，等式恒成立．
当θ∈[$2kπ+\frac{3π}{2}$，2kπ+2π]，k∈Z，上式化为：1-sin²θ+cos²θ=0，cos2θ=-1，2θ=2kπ+π，θ=kπ+$\frac{π}{2}$舍去．
综上：θ∈[2kπ+π，$2kπ+\frac{3π}{2}$]，k∈Z，
故答案为：[2kπ+π，$2kπ+\frac{3π}{2}$]，k∈Z，

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力．