Question

14．如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，取向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AA′}$为基底的基向量，在下列条件下，分别求x、y、z的值
（1）$\overrightarrow{BD′}$=x$\overrightarrow{AD}$+y$\overrightarrow{AB}$+z$\overrightarrow{AA′}$；
（2）$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AD}$+y$\overrightarrow{AB}$+z$\overrightarrow{AA′}$．

Answer 1

分析 （1）根据向量加法的几何意义，以及相等向量、相反向量便可得出$\overrightarrow{BD′}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA′}$，从而由平面向量基本定理即可得出x，y，z的值；
（2）根据向量加法、数乘，及减法的几何意义，用基底表示出向量$\overrightarrow{AE}$，从而得出x，y，z的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{BD′}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD′}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA′}$；
∴x=1，y=-1，z=1；
（2）$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AA′}+\overrightarrow{A′E}$=$\overrightarrow{AA′}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A′C′}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{D′C′}-\overrightarrow{D′A′}）$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA′}$；
∴$x=\frac{1}{2}，y=\frac{1}{2}，z=1$．

点评 考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，相等向量和相反向量的概念，向量的数乘运算，以及平面向量基本定理．