Question

已知矩形ABCD的边AB=4cm，BC=3cm，如图所示，矩形的顶点A，B为某一椭圆的两个焦点，且椭圆经过矩形的另外两个顶点C，D，试建立适当的坐标系，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：由题意建立直角坐标系，可得点A，B，C的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=AC+BC，求得a，进而根据b，a和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．

解答：解：如图，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立坐标系，
由题意可得点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（ 2，0），（ 2，3）．
设椭圆的标准方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
则2a=AC+BC，
即2a=5+3=8，所以a=4．
所以b²=a²-c²=16-4=12．
所以椭圆的标准方程是

x2

16

+

y2

12

=1．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的关系．属于基础题．