Question

10．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）函数y=f（x）在（a，+∞）上单调递减，求a的取值范围；
（2）设l为曲线C：y=f（x）在点（1，0）处的切线，证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，从而可得f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；从而求得a≥e．
（2）可知切线l的方程为y=x-1；再令g（x）=x-1-f（x），从而可得?x＞0且x≠1，g（x）＞0，求导g′（x）=1-f′（x）=$\frac{{{x^2}-1+lnx}}{x^2}$，从而证明即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；
又∵函数y=f（x）在（a，+∞）上单调递减，
∴a≥e．
（2）证明：由（1）知，f′（1）=1，
所以l的方程为y=x-1；
令g（x）=x-1-f（x），
∵除切点外曲线C在直线l的下方，
∴?x＞0且x≠1，g（x）＞0，
而g（x）满足g（1）=0，且g′（x）=1-f′（x）=$\frac{{{x^2}-1+lnx}}{x^2}$，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，故g（x）单调递减，
当x＞1时，g′（x）＞0，故g（x）单调递增；
所以对?x＞0且x≠1，g（x）＞g（1）=0；
所以除切点外，曲线C在直线的下方．

点评 本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．