Question

10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，2S_n=na_n+5n
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）已知S₃=21，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2S_n=n•a_n+5n，得：2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+5（n-1）a_n+1-na_n+5=0，从而na_n+2-2na_n+1+na_n=0，由此能证明{a_n}为等差数列．
（Ⅱ）由等差数列项公式求出a₂=7，由n=1，得a₁=5，从而求出{a_n}的公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 证明：（Ⅰ）2S_n=n•a_n+5n，①
以n+1代替①式中的n，得：2S_n+1=（n+1）a_n+1+5（n+1），②
②-①，得：2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+5（n-1）a_n+1-na_n+5=0，③
以n+1代换③中的n 得：na_n+2-（n+1）a_n+1+5=0，④
④-③，得：na_n+2-2na_n+1+na_n=0，
即a_n+2+a_n=2a_n+1，
∴{a_n}为等差数列．
解：（Ⅱ）∵S₃=3a₂=21，∴a₂=7，
①式中，n=1，得a₁=5，
∴{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
∴a_n=2n+3．

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．