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给定椭圆C:,称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为,其短轴的一个端点到点F的距离为
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,求l1,l2的方程;
(3)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求的取值范围.
【答案】分析:(1)利用椭圆和其“准圆”的标准方程及其定义即可得出;
(2)先求出点P的坐标,设出与椭圆相切的直线的方程,并与椭圆的方程联立,利用△=0即可求出切线的斜率,进而可 求出直线l1,l2的方程;
(3)先设出点B、D的坐标并求出点A的坐标,利用向量的数量积得出,再利用点B在椭圆上即可得出其取值范围.
解答:解:(1)由题意可得:,b=1,∴r==2.
∴椭圆C的方程为,其“准圆”的方程为x2+y2=4;
(2)由“准圆”的方程为x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取P(2,0),
设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为my=x-2,
联立,消去x得到关于y的一元二次方程(3+m2)x2+4m+1=0,
∴△=16m2-4(3+m2)=0,解得m=±1,
故直线l1、l2的方程分别为:y=x-2,y=-x+2.
(3)由“准圆”的方程为x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取点A(2,0).
设点B(x,y),则D(x,-y).
=(x-2,y)•(x-2,-y)=
∵点B在椭圆上,∴,∴
==


,即的取值范围为
点评:熟练掌握圆锥曲线的定义及性质、直线与圆锥曲线相切问题的解法、斜率的数量积的定义是解题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏省高三3月月考数学试卷(解析版) 题型:解答题

(本小题满分15分)

给定椭圆C:,称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为,其短轴的一个端点到点的距离为

(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;

(2)若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点,是椭圆C上的两相异点,且轴,求的取值范围;

(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点,过点作直线,使得与椭圆C都只有一个交点,试判断是否垂直?并说明理由.

 

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年江苏省高三第二次模拟考试数学试卷 题型:解答题

给定椭圆C:,称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆” ,若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为

(1)、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程;

(2)、若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点,且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点,求弦MN的长。

(3)、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点,过点P作直线,使得与椭圆C都只有一个公共点,求证:

 

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(1)、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程;

(2)、若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点,且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点,求弦MN的长。

(3)、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点,过点P作直线,使得与椭圆C都只有一个公共点,求证:

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

给定椭圆C:,称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆” ,若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为

(1)、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程;

(2)、若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点,且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点,求弦MN的长。

(3)、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点,过点P作直线,使得与椭圆C都只有一个公共点,求证:

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