Question

如图甲，圆O的直径AB=2，圆上C，D两点在直径AB的异侧且∠CAB=

π

4

，∠DAB=

π

3

，沿直径AB折起，使得两个半圆所在的平面垂直（如图乙），F为BC的中点．根据图乙解答下列问题：

（1）求三棱锥C-BOD的体积；
（2）求二面角C-AD-B的余弦值；
（3）在弧BD上是否存在点G，使得GF∥平面ACD？若存在，请确定点G位置，并求出直线AG与平面AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）利用圆的性质可得CO⊥AB，利用面面垂直的性质可得CO⊥平面BOD．在计算出S_△BOD=

1

2

S_△AOB，利用三棱锥的体积即可得出
（2）根据，∠DAB=60°求出D点坐标，然后求出平面ACD的一个法向量，找出平面ADB的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值；
（3）假设在 

BD

上存在点G，使得FG∥平面ACD，根据（1）中的结论，利用两面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，从而得到OG∥AD，利用共线向量基本定理得到G的坐标（含有参数），然后由向量 

OG

的模等于圆的半径求出G点坐标，最后利用向量 

AG

与平面ACD的法向量所成角的关系求直线AG与平面ACD所成角的正弦值．

解答： （1）解：∵C为圆周上一点，且AB为直径，∴∠C=90°，
∵∠CAB=

π

4

，∴AC=BC，
∵O为AB中点，∴CO⊥AB，
∵AB=2，∴CO=1．
∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，
∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD．
∴CO就是点C到平面BOD的距离，
在Rt△ABD中，S_△BOD=

1

2

S_△ABD=

1

2

×

1

2

×1×

3

=

3

4

．
∴V_C-BOD=

1

3

S_△BOD•CO=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

．
（2）解：∵∠DAB=60°，∴点D的坐标D（

3

，-1，0），

AD

=（

3

，1，0）．
设二面角C-AD-B的大小为θ，

n1

=（x，y，z）为平面ACD的一个法向量．
由

n1 • AC =0 n1 • AD =0

，有

(x，y，z)•(0，2，2)=0 (x，y，z)•( 3 ，1，0)=0

，
即

2y+2z=0 3 x+y=0

，取x=1，解得y=-

3

，z=

3

．∴

n1

=（1，-

3

，

3

）． 
取平面ADB的一个法向量

n2

=（0，0，1），
∴cosθ=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

|1×0+(- 3 )×0+ 3 ×1|

7 ×1

=

21

7

．
（3）设在

BD

上存在点G，使得FG∥平面ACD，
∵OF∥平面ACD，
∴平面OFG∥平面ACD，则有OG∥AD．
设

OG

=λ

AD

（λ＞0），
∵

AD

=（

3

，1，0），∴

OG

=（

3

λ，λ，0）．
又∵|

OG

|=2，
∴

( 3 λ)2+λ2+02

=2，
解得λ=±1（舍去-1）．
∴

OG

=（

3

，1，0），则G为

BD

的中点．
因此，在

BD

上存在点G，使得FG∥平面ACD，且点G为

BD

的中点．
设直线AG与平面ACD所成角为α，∵

AG

=（

3

，1，0）-（0，-2，0）=（

3

，3，0），
根据（2）的计算

n1

=（1，-

3

，

3

）为平面ACD的一个法向量，
∴sinα=cos（90°-α）=

| AG • n1 |

| AG || n1 |

=

| 3 ×1+3×(- 3 )+0× 3 |

2 3 × 7

=

7

7

．
因此，直线AG与平面ACD所成角的正弦值为

7

7

．

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力，此题是中档题．