Question

19．如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．
（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；
（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．

Answer 1

分析 （1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．运用直角三角形中锐角三角函数的定义，求得PD，ND，PA；
（2）运用同角的平方关系和二倍角公式及两角和差函数公式，化简函数式，再由正弦函数的图形和性质，可得最大值．

解答 解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．
在Rt△MAN中，sinθ=$\frac{NA}{MN}$=$\frac{NA}{2}$，故NA=2sinθ，
在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ=$\frac{PD}{PN}$=$\frac{PD}{1}$，cosθ=$\frac{ND}{PN}$=$\frac{ND}{1}$，
故PD=sinθ，ND=cosθ．
在Rt△PDA中，PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{P{D}^{2}+（AN+ND）^{2}}$
=$\sqrt{si{n}^{2}θ+（2sinθ+cosθ）^{2}}$，
所以l（θ）=$\sqrt{si{n}^{2}θ+（2sinθ+cosθ）^{2}}$，
函数l（θ）的定义域为（0，$\frac{π}{2}$）．
（2）由（1）可知，l（θ）=$\sqrt{si{n}^{2}θ+（2sinθ+cosθ）^{2}}$，
即l（θ）=$\sqrt{si{n}^{2}θ+4si{n}^{2}θ+4sinθcosθ+co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{4si{n}^{2}θ+4sinθcosθ+1}$
=$\sqrt{2（1-cos2θ）+2sin2θ+1}$=$\sqrt{2sin2θ-2cos2θ+3}$=$\sqrt{2\sqrt{2}sin（2θ-\frac{π}{4}）+3}$，
又θ∈（0，$\frac{π}{2}$），故2θ-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），所以当2θ-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
即θ=$\frac{3π}{8}$时，sin（2θ-$\frac{π}{4}$）取最大值1，
l（θ）_max=$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=1+$\sqrt{2}$．
答：当θ=$\frac{3π}{8}$时，l（θ）有最大值，最大值为1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数在实际问题中的应用，注意运用三角函数的恒等变换公式，考查正弦函数的图形和性质，属于中档题．