Question

如图所示，某圆柱状铜制铸件，内部为正三棱柱状中空，正三棱柱的上下底面三角形A′B′C′和三角形ABC分别内接于圆柱的上下底面，已知圆柱的底面直径为12cm，高为10cm，求此铜制铸件的体积V．（结果保留π和根号即可）

Answer 1

分析：由已知中圆柱状铜制铸件，内部为正三棱柱状中空，我们易根据圆柱的底面直径为为12cm，分别求出圆柱的底面面积和正三棱柱的底面面积，再由高为10cm，我们分别计算出圆柱的体积和正三棱柱的体积，相减后即可得到铜制铸件的体积V．

解答：解：圆柱的底面半径为6cm，高为10cm
V_圆柱=S•h=πr²h=360πcm³，…（3分）
设底面正三角形边长为a
∵r=

3

3

a，则

3

r=a
∴a=

3

×6=6

3

cm，
∴S_△ABC=

3

4

a2=27

3

cm²，…（8分）
∴V_棱柱=S•h=270

3

πcm³，…（10分）
∴V=V_圆柱-_棱柱=（360π-270

3

π）cm³
答：此铜铸件的体积为=（360π-270

3

π）cm³

点评：本题考查的知识点是旋转体--圆柱的几何的体积，棱柱的体积，及组合体的体积，其中根据已知中圆柱的底面直径为为12cm，高为10cm，分别计算出圆柱的体积和正三棱柱的体积，是解答本题的关键．