分析 (Ⅰ)推导出C1D⊥AA1,C1D⊥A1B1,由此能证明C1D⊥平面A1B.
(Ⅱ)以C1为原点,C1A1为x轴,C1B1为y轴,C1C为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AB1与平面C1DF夹角θ的正弦值.
解答 证明:(Ⅰ)∵直三陵柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,C1D?平面A1B1C1,
∴C1D⊥AA1,
∵△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=1,
∴C1D⊥A1B1,
∵AA1∩A1B1=A1,∴C1D⊥平面A1B.
解:(Ⅱ)以C1为原点,C1A1为x轴,C1B1为y轴,C1C为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,$\sqrt{2}$),B1=(0,1,0),A1(1,0,0),D($\frac{1}{2},\frac{1}{2},0$),
C1(0,0,0),F(0,1,1),
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=(-1,1,-$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=($\frac{1}{2},\frac{1}{2},0$),$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=(0,1,1),
设平面C1DF的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}F}=y+z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,1),
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2-\sqrt{2}|}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$.
∴AB1与平面C1DF夹角θ的正弦值为$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$.
点评 本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | $\frac{π}{3}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{6}$ | D. | $\frac{π}{12}$ |
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A. | 若a∥α,a∥b,b∥c,则c∥α | B. | 若a?α,b?β,α⊥β,则a⊥b | ||
C. | 若a⊥α,a⊥b,b⊥c,则c⊥α | D. | 若α∥β,a?α,则a∥β |
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