Question

（2012•自贡一模）要研究可导函数f（x）=（1+x）ⁿ（n∈N^*）在某点x₀处的瞬时变化率，有两种方案可供选择：①直接求导，得到f′（x），再把横坐标x₀代入导函数f′（x）的表达式；②先把f（x）=（1+x）ⁿ按二项式展开，逐个求导，再把横坐标x₀代入导函数f′（x）的表达式．综合①②，可得到某些恒等式．利用上述思想方法，可得恒等式：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…nC_nⁿ=

n•2^n-1

 n∈N^*．

Answer 1

分析：先设t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+（r+1）C_n^r+…+（n）C_nⁿ再由C_n^m=C_n^n-m这个性质，将t转化为t=（n+1）C_n⁰+nC_n¹+（n-1）C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+C_nⁿ②，两式相加求解．

解答：解：可导函数f（x）=（1+x）ⁿ（n∈N^*）在某点x=1处的瞬时变化率，有两种方案可供选择：
①直接求导，得到f′（x），再把横坐标1代入导函数f′（x）的表达式；即：
f′（1）=n（1+1）^n-1
②先把f（x）=（1+x）ⁿ按二项式展开，逐个求导，再把横坐标1代入导函数f′（x）的表达式．
即：f′（1）=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…nC_nⁿ
综合①②，可得到恒等式C_n¹+2C_n²+3C_n³+…nC_nⁿ=n•2^n-1
故答案为：n•2^n-1

点评：本题主要考查二项式系数及利用组合数的关系应用倒序相加法求代数式的值．