Question

已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

Answer 1

【答案】分析：本题是一个至少性问题，可以利用反证法证明，其步骤为：①否定命题的结论，即假设“任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点”成立→②根据函数的性质可以得到三个函数对应方程的△≤0均成立→③利用不等式的性质，同向不等式求和→④得到的式子与实数的性质相矛盾→⑤故假设不成立，原结论成立．
解答：解：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点
（即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），
由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b得△₁=（2b）²-4ac≤0，
△₂=（2c）²-4ab≤0，
△₃=（2a）²-4bc≤0．
同向不等式求和得，
4b²+4c²+4a²-4ac-4ab-4bc≤0，
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≤0，
∴（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0，
∴a=b=c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．
点评：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面．反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．