Question

已知向量

a

=(sinα，-

1

2

)，

b

=(1，2cosα），

a

•

b

=

1

5

，α∈(0，

π

2

)
（1）求sin2α及sinα的值；
（2）设函数f(x)=5sin(-2x+

π

2

+α)+2cos2x(x∈[

π

24

，

π

2

])，求x为何值时，f（x）取得最大值，最大值是多少，并求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，

a

•

b

=sinα-cosα=

1

5

，平方可求sinα-cosα，sin2α，进而可求sinα+cosα，从而可求sinα
（2）由题意可得f（x）=5cos（2x-α）+1+cos2x=4

2

sin（2x+

π

4

）+1，结合

π

24

≤x≤

π

2

可求函数的最大值，要使得函数y=f（x）单调递增，则-

1

2

π+2kπ≤2x+

π

4

≤ 2kπ+

1

2

π
结合x∈[

π

24

，

π

2

]可求

解答：解：（1）∵

a

•

b

=sinα-cosα=

1

5

∴（sinα-cosα）²=1-2inαcosα=1-sin2α=

1

25

∴sin2α=

24

25

（2分）
∵（sinα+cosα）²=1+sin2α=

49

25

∴sinα+cosα=

7

5

∴sinα=

3

5

，cosα=

4

5

（5分）
（2）∵f（x）=5cos（2x-α）+1+cos2x
=5（cos2xcosα+sin2xsinα）+cos2x+1
=5（

3

5

cos2x+

4

5

sin2x）+cos2x+1
=4cos2x+4sin2x+1
=4

2

sin（2x+

π

4

）+1（8分）
∵

π

24

≤x≤

π

2

∴

π

3

≤2x+

π

4

≤

5π

4

当x=

π

24

时，f(x)max=f(

π

24

)=1+2

6

（10分）
要使得函数y=f（x）单调递增
∴-

1

2

π+2kπ≤2x+

π

4

≤ 2kπ+

1

2

π
∴-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈Z）
∵x∈[

π

24

，

π

2

]
∴y=f（x）的单调递增区间为[

π

24

，

π

8

]（12分）

点评：本题主要考查了向量的数量积的基本运算，三角函数的二倍角公式、赋值角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的单调区间的求解，属于向量与三角的综合应用．